BELAJAR MATEMATIKA

1.  Rumus trigonometri serta cara memperolehnya

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α
BD = a.sin β
CD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:


  2. Pembahasan Penting Dalam Barisan dan Deret Geometri
  
* BARISAN GEOMETRI

Yang dimaksud dengan barisan geometri yaitu sederetan bilangan yang berupa suku / unit yang ditulis secara berurutan dengan perbandingan dua buah suku yang berurutan mempunyai harga yang konstan (tetap). Perbandingan dua buah suku yang berurutan ini biasanya dinamakan dengan rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Sehingga bentuk umum untuk barisan geometri yaitu

U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n
U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1
r=U_n / U_n-1
Jika untuk suku pertama disebut dengan a maka bentuk umum untuk barisan geometrinya sebagai berikut

Jadi berdasarkan deret diatas U_n=ar^n-1
Berdasarkan rasionya kita dapat memperoleh tiga jenis pernyataan, yaitu :

1. Jika r>1 maka suku-suku barisan tersebut semakin besar nilainya / naik sehingga disebut barisan geometri naik.
2. Jika r<1 yang artinya -1<r<1 maka suku-suku barisan tersebut semakin kecil nilainya / turun sehingga disebut barisan geometri turun.
3. Jika r<0 maka suku barisan berganti tanda sehingga disebut barisan naik turun.

  
* DERET GEOMETRI

Jika a, ar, ar², ar³, … ar^n-1 merupakan suatu barisan geometri, maka

a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1 merupakan deret geometri.

Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri  kita lambangkan dengan S_n, maka S_n dapat ditulis sebagai berikut
S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1
Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r  akan diperoleh
r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ
selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ
__________________________________-
S_n – r S_n = a – arⁿ
(1 – r)S_n = a(1 – rⁿ)
S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)  jika r<1
untuk r>1 dengan cara yang sama rumus S_n dapat diperoleh, yaitu

Keterangan :

1. Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap
2. Barisan geometri akan naik jika U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun jika U_n < U_n-1
4. Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0
5. Terdapat hubungan U_n = S_n – S_n-1
6. Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un
7. Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.

contoh soal :
tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ?
Penyelesaian :

Diketahui Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Sehingga a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

4374=2 . 3^n-1

4374/2=3^n-1

2187=3^n-1

3⁷=3^n-1

n – 1 = 7

n = 8

S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)

S₈= 2(1 – 3²)/(1 – 3)

     = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah  6560.

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

 Suatu deret geometri jika n menuju tak hingga maka deret tersebut disebut deret geometri tak berhingga. Sehingga deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari

Jenis deret geometri tak hingga :

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga konvergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| <1 atau -1< r <1. Dan jumlah deret geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan

S_n=a/(1 – r)

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (menyebar)

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga divergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Dan jumlah deret geometri divergen tidak didefinisikan. contoh : 1+3+9+27+…

Catatan:a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….………. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

  3. Rumus bangun datar dan bangun ruang

• Rumus bangun datar

Rumus Bujur Sangkar Bujur sangkar adalah bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang
- Keliling : Panjang salah satu sisi dikali 4 (4S) (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Sisi dikali sisi (S x S)

Rumus Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari dua sisi yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang, sedangkan yang pendek disebut lebar.
- Keliling : Panjang tambah lebar kali 2 ((p+l)x2) (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Panjang dikali lebar (pl)

Rumus Segitiga
- Keliling : Sisi pertama + sisi kedua + sisi ketiga (AB + BC + CA)
- Luas : Panjang alas dikali pangjang tinggi dibagi dua (a x t / 2)

Rumus Lingkaran
- Keliling : diameter dikali phi (d x phi) atau phi dikali 2 jari-jari (phi x (r + r)
- Luas : phi dikali jari-jari dikali jari-jari (phi x r x r) - phi = 22/7 = 3,14

Rumus Jajar Genjang atau Jajaran Genjang
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : alas dikali tinggi (a x t)

Rumus Belah Ketupat
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : alas dikali panjang diagonal dibagi 2 (a x diagonal / 2) - Diagonal : Garis tengah dua sisi berlawanan

Rumus Trapesium
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Jumlah sisi sejajar dikali tinggi dibagi 2 ((AB + CD) / 2)

• Rumus Bangun Ruang

Rumus Kubus
- Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3)

Rumus Balok
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)

Rumus Bola
- Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t)
- Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)

Rumus Limas Segi Empat
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3)
- Luas : ((p + l) t) + (p x l)

Rumus Tabung
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t)
- Luas : (phi x r x 2) x (t x r)

Rumus Kerucut
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3)
- Luas : (phi x r) x (S x r) - S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)

Rumus Prisma Segitiga Siku-siku
- Volume : alas segitiga kali tinggi segitiga kali tinggi prisma bagi dua (as x ts x tp x 2).